日内瓦大学的数学家雨果-杜米尼尔-科宾（Hugo Duminil-Copin）在国际数学家大会上获得了2022年的菲尔兹奖。菲尔兹奖是数学领域最负盛名的奖项之一。它每四年颁发一次，"以表彰现有工作的杰出数学成就和对未来成就的承诺"。每次最多有四位40岁以下的数学家被授予菲尔兹奖。

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我们很幸运地在今年大会召开前与杜米尼尔-科宾进行了交谈，今年的大会是一个完全虚拟的活动，只有颁奖仪式和讲座是在芬兰赫尔辛基举行的。他告诉我们，他在统计物理学方面的工作如何将他的两个爱好——数学和物理学结合起来。

处于十字路口的幸福

“我总是有这种两种爱好的平衡，并不知道如何调和它们。” 杜米尼尔-科宾这样描述自己对于从事物理学和数学方面工作的兴趣。像许多孩子一样，他想了解世界是如何运作的，以及为什么它以这种方式运作，但杜米尼尔-科宾也被数学证明所提供的纯粹性和终极性所强烈吸引，在那里你可以建立一个“不会倒塌，不是由纸牌制成”的“城堡”。

虽然他选择了学习数学，但杜米尼尔-科宾很快就愉快地发现了统计物理学领域，在这个领域，概率理论被用来理解物理现象。杜米尼尔-科宾说：“对我来说，这就是‘哦，天哪，发生了什么！’，我多年来一直在寻找的东西就在我的面前，这是我想要的两种东西的交汇点！”

相变和普遍性

杜米尼尔-科宾因其改变统计物理学中相变的数学理论的工作而被认可。相变是我们都熟悉的东西，一个例子是水在温度低于零度时冻结成冰。相变是指当一个复杂的系统，如一群水分子，在某些参数，在这种情况下是温度，通过某个临界点时，行为发生一些急剧变化。

杜米尼尔-科宾说：“我们作为数学家的工作就是通过对物理现象进行数学漫画的方式来理解这些相变。”这样的数学漫画（也称为数学模型）的一个例子是，使用一个规则的晶格来描述您正在试图理解的系统的排列方式。实际上，在液态水中，分子的位置没有真正的约束，它们不像在一个晶格上的点那样在空间中规则地排列。但是为了研究这个系统，通常想象分子以这种方式规则地定位可能更简单。

尽管这种假设是非常不切实际的，但杜米尼尔-科宾说，以这种方式研究系统可以解释实际发生的现象。他说：“这涉及到一个非常深刻的现象——普遍性，作为一个数学家，我试图去理解它。”

普遍性几乎就像心愿成真：在某些情况下，数学模型的细节并不影响其全局行为。原因是如果一个系统涉及许多不同的随机过程，例如许多水分子移动，那么底层机制的细节不应该有影响。在水冰相变的例子中，您可以选择任何分子排列方式，假设它们按您选择的晶格规则排列，您正在研究的相变将具有相同的性质，无论您选择哪种晶格。

这对数学家和物理学家来说非常令人放心，因为它告诉您许多系统最终具有相同的行为，您可以选择最简单的这些系统，即位于晶格上的系统。从数学上讲，您可以从这个简单得多的问题描述中得到更多的信息。数学模型不一定代表物理现实，但由于普遍性，您最终仍将得到与使用物理上准确描述相同的结果。

美丽的问题

统计物理学提供的问题让杜米尼尔-科宾特别感兴趣：它们看起来很简单，但需要新的数学方法才能解决。他告诉我们一个例子，这是他在博士后学习期间学习的第一个猜想之一。

"想象一下，你在一个蜂巢前面，"杜米尼尔-科宾说。蜂巢的前面形成了平面的六边形瓦片，而标志着蜂巢墙壁的角和线形成了六边形或蜂巢格子的点和边。想象一下，你在格子中选择一个起点，然后按照一个简单的规则在格子中选择你的路径：你不能回到格子中任何你已经去过的地方。这就是所谓的自我规避行走。

你能去哪里？你的第一步有三个选择。那么你的第二步就只有两个选择，因为你不能重走你的步子。由于类似的原因，你的第三、第四和第五步各有两个选择。但是到了第六步，事情开始变得复杂，你必须更加小心，因为你有可能开始完全循环六边形。

我们可以亲身证明，思考这些相对较少步数的自避行走的所有可能性有多么吸引人。正如杜米尼尔-科宾所说，规则是如此简单以至于孩子都可以做到，但问题的复杂性很快就会出现。很明显，可能的自避行走数量随着步数呈指数增长，但随着步数的增加，很难跟踪这个数字，因为你试图确保永远不会重复自己的步伐。"你很快就会意识到你无法精确计算这个数字，它是一个非常难以理解的数字。"

杜米尼尔-科宾说：“这个问题不仅仅是在你应该写文章的时候玩乐的消遣。在20世纪40年代，化学家保罗·弗洛里（Paul Flory，1974年获得诺贝尔化学奖）和W.J.C. Orr引入了自避免步行作为一种研究长链状分子——聚合物，并理解它们如何行为的方法。‘它与物理现象非常相关，例如尝试理解聚合物，例如DNA分子在做什么。由于它们是一长串不能在同一位置的分子，因此这些聚合物是自避免行走。’”

对于任何点阵，无论是上面我们思考的蜂窝点阵，还是平面的正方形或三角形点阵，或三维空间的立方点阵，目前还没有已知的精确答案来描述自避免步行数量的增长速度。但是在这些点阵中，蜂窝点阵是独一无二的，我们可以接近找到答案。1980年，统计物理学家伯纳德·尼恩休斯（Bernard Nienhuis）假设在蜂窝点阵上，自避免步行数量的增长速度近似于(\sqrt{2+\sqrt{2}})^ n，其中n是大量的步数。

“我发现真的很神奇，有一个答案，而且是一个非常酷的数字！”杜米尼尔-科宾说。“这是我在硕士班上首次了解的一个猜想。有趣的是，当时看起来似乎没有希望证明这个猜想，我与我的博士导师讨论过，我们都同意尝试证明它是个可怕的想法。”

由于这个猜想涉及计数，听起来像是需要组合数学来证明。但最终的答案来自非常不同的数学领域。当杜米尼尔-科宾开始理解猜想中出现的一些想法时，他正在解决复分析中的问题，这似乎与自避免步行没有关系。他说：“某个时刻，它开始滚雪球般增长，我们得到了这个很酷的证明。”（您可以在杜米尼尔-科宾的这篇可爱的文章（https://www.imaginary.org/sites/default/files/snapshots/snapshots-2019-006.pdf）中了解这个证明的一些细节。）“这是我们领域中典型的问题之一，你会从许多其他数学和物理学领域获得启发。它让你处于许多领域的交叉路口，这是我非常喜欢的事情。”

变化点上的更多对称性

杜米尼尔-科宾非常高兴能够在数学和物理的交叉点上工作。最初，物理学家在理解相变方面取得了最大进展，但“现在情况几乎反过来了，数学的贡献非常强大”。

一个例子是杜米尼尔-科宾及其同事最近在理解称为共形不变性的东西方面取得的进展，这是一套特别丰富的对称性，可能存在于描述一个物理系统的数学模型中。对称性之所以有用，是因为它们减少了你描述模型所需的信息量。例如，要描述一个棋盘，你只需要说，黑色和白色的方块被安排在一个格子里，使颜色交替出现。如果你能减少描述一个模型所需的信息量，那么这也意味着模型在临界点的行为可以得到更精确的描述。

证明共形不变性一直是一个非常活跃的研究领域，但自2000年以来，仅有少数几个具体模型（例如，仅适用于几种特定类型的晶格）已被严谨证明为共形不变的。杜米尼尔-科宾说：“这里有一份可以用一只手数出来的清单，上面列出了具有共形不变性的模型。”

为了简化问题，杜米尼尔-科宾和他的同事们只研究了生存在二维空间中的模型，而不是完整的三维空间。他说：“对于数学家来说，对于二维中的共形不变性的理解已经取得了很大进展，现在正在为物理理论带来新的光明。”

为了进一步简化，他们只关注旋转对称性。以蜂窝格子上的自避随机游走为例，假设你想知道在格子上从起点到终点的自避随机游走数量，那么很明显，如果你将终点沿着起点旋转三分之一圆，数量是不变的，这是格子本身固有的对称性。

“处于临界点的系统，基本上就是在相变发生时，最奇妙的特性之一就是系统获得了更多的对称性，”杜米尼尔-科宾说。因此，人们认为，在经历相变的系统将在任何角度下都具有旋转对称性，而不仅仅是在远离临界点时明显的对称性。

杜米尼尔-科宾和他的同事们能够为更大一组模型提供旋转对称性的严格数学证明。此外，他们的方法还可以提供缺失的成分，从而导致完整共形不变性的证明，以及所有这将带来的数学优势。

分享数学

数学的性质使合作变得容易：你不需要一些庞大的实验仪器来展示你的想法，你只需要在喝咖啡时谈论你的想法。而合作是杜米尼-科宾作为数学家工作的一个关键部分。与具有不同经验的人互动，这些人可以从不同的角度看待你的工作，可以把一个问题从完全注定的问题变成一个了不起的想法。"正是这种不断的互动和对每个人的想法的改进，使数学成为今天的样子。"

杜米尼尔-科宾认为他的菲尔兹奖是对所有在他的领域工作的人和他们共同开发的工作的认可，他迫不及待地想在国际数学大会上宣布奖项时与他的合作者最终分享这一认可。"他说："数学是一项非常社会化的活动，比人们认为的要多得多。他说："人们对数学家的印象是孤独的英雄，但在我看来，这不是我的数学或我做数学的方式的愿景。没有这种与他人的互动，我的工作就不会发生"。

原作者： Marianne Freiberger and Rachel Thomas 翻译：MathVoice（数学开讲啦）审校：MathVoice（数学开讲啦）